CUADRILÁTERO SIMÉTRICO.

Se llama así cualquier cuadrilátero en el cual una de sus diagonales sirve de eje de simetría. Por ejemplo: el rombo, el deltoide, el cuadrado.

El rectángulo es un cuadrilátero que simultáneamente cumple las características de:

1. Paralelogramo, al ser paralelos sus lados opuestos.

2. Trapecio rectángulo, porque los lados son perpendiculares a las bases.

3. Trapecio isósceles, por ser de igual longitud los lados que no constituyen las bases.

Del mismo modo se puede verificar que el rombo es un deltoide paralelogramo, pues cumple las características de ambos.

Por último, el cuadrado puede considerarse rombo, rectángulo, con lados iguales y bicéntrico.

NOMENCLATURA DE LOS CUADRILÁTEROS.

En Geometría euclidiana, un cuadrilátero o tetrágono es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro vértices.

En el gráfico ilustrativo de la taxonomía de los cuadriláteros se pasa de las definiciones más generales a las más específicas siguiendo el sentido de las flechas.

Así se parte de un cuadrilátero definido como un polígono cerrado de cuatro lados, sin más restricciones, para diferenciar los cuadriláteros compuestos de los simples.

En un cuadrilátero complejo, dos de sus lados se cortan. En uno simple los lados no se cruzan.

Los cuadriláteros simples se dividen en:

A. Cóncavos. En un cuadrilátero cóncavo al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180°.

B. Convexos. Un cuadrilátero convexo no tiene ángulos interiores que midan más de 180°. Los convexos se subdividen en:

a. Cuadrilátero cíclico, si se puede trazar una circunferencia que pase por sus vértices.

b. Cuadrilátero tangencial, si se puede trazar una circunferencia tangente a cada uno de sus lados.

c. Trapecios, si tienen dos lados paralelos. Se diferencian:

1. Romboide, como caso más general de paralelogramo, si los lados son paralelos dos a dos.
2. Trapecio rectángulo, que tiene un lado perpendicular a sus bases.
3. Trapecio isósceles, cuyos lados no paralelos son de igual medida. Este trapecio también es cíclico.

A un cuadrilátero que al mismo tiempo sea cíclico y tangencial se le denomina cuadrilátero bicéntrico. El deltoide es tangencial con dos pares de lados iguales.

Un caso particular de trapecio isósceles es cuando la longitud de una de las bases es igual que la de sus lados, por lo cual se configura un trapecio de tres lados iguales.

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS.

En Geometría euclidiana, un cuadrilátero o tetrágono es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro vértices.

Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados, sus longitudes y sus ángulos interiores:

1. Paralelogramo: sus lados opuestos son paralelos.

2. Cuadrado: todos sus lados son iguales, todos sus ángulos interiores son rectos, sus diagonales son iguales y perpendiculares entre sí, tiene una circunferencia inscritas y otra circunscrita.

3. Rombo: todos sus lados son iguales, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus diagonales son distintas y perpendiculares entre sí, son bisectrices, tiene una circunferencia inscrita.

4. Rectángulo: sus lados opuestos son iguales dos a dos y los paralelos, todos sus ángulos interiores son rectos, sus dos diagonales son iguales pero no son perpendiculares entre sí y tiene una circunferencia circunscrita.

5. Romboide: sus lados opuestos son iguales dos a dos, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus dos diagonales son de distinta longitud y no son perpendiculares entre sí.

6. Trapecio: En geometría, se llama trapecio a un cuadrilátero que tiene dos lados no consecutivos paralelos llamados bases del trapecio, y el segmento perpendicular entre las dos bases y su propia longitud son llamadas altura del trapecio.

7. Trapezoide: En geometría euclídea plana, un trapezoide es un cuadrilátero convexo sin lados paralelos.

ELEMENTOS DE LOS CUADRILÁTEROS.

En Geometría euclidiana, un cuadrilátero o tetrágono es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro vértices.

Los elementos de un cuadrilátero son los siguientes:

A. 4 vértices: puntos de intersección de los lados que conforman el cuadrilátero.

B. 4 lados: segmentos que unen los vértices contiguos.

C. 2 diagonales: segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos.

D. 4 ángulos interiores: el determinado por dos lados contiguos.

E. 4 ángulos exteriores: el determinado por la prolongación de uno de los lados sobre un vértice y el contiguo en el mismo vértice.

F. Un incentro, centro de la circunferencia inscrita.

PROPOSICIONES DE LOS CUADRILÁTEROS.

En Geometría euclidiana, un cuadrilátero o tetrágono es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro vértices.

Proposiciones.

1. Los cuadriláteros tienen dos diagonales.

2. Las diagonales de un cuadrilátero se cortan en un punto interior, si y solamente si este es convexo.

3. Poseen cuatro ángulos.

4. La suma de las medidas de los ángulos de un cuadrilátero convexo es 360º o 2π radianes.

5. Cualquier cuadrilátero simple puede expresarse como la unión de dos triángulos con lado común que es una de las diagonales.

6. Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia la suma de la medida de sus ángulos opuestos es igual a 180º.Sea ABCD un cuadrilátero inscrito en una circunferencia de diámetro AB, entonces las proyecciones de los lados AD y BC sobre la recta CD son iguales.

7. Si las diagonales de un cuadrilátero convexo lo divide en cuatro triángulos y los radios de la circunferencias inscritas en estos triángulos son iguales, entonces dicho cuadrilátero es un rombo.

8. Si se unen con cuatro segmentos los puntos medios de todos los lados de un cuadrilátero, entonces dichos segmentos forman un paralelogramo.

9. Si en el cuadrilátero ABCD los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos ABC, BCD, CDA, DAB son iguales, entonces dicho cuadrilátero es un rectángulo.

10. Si las diagonales de un cuadrilátero lo dividen en cuatro triángulos de igual perímetro, entonces el cuadrilátero original es un rombo.

TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS.

Los triángulos pueden ser clasificados según sus ángulos  y estos son:

1. Triángulo acutangulo: es aquel tipo de triángulos cuyos tres ángulos son agudos, es decir, menores de 90 grados.

2. Triángulo rectángulo: la característica principal de este tipo de triángulo es que tienen un ángulo recto, es decir, un ángulo cuya medida es exactamente 90 grados.

3. Triángulo obstusangulo: son aquellos triángulos que tiene dos ángulos agudos y un ángulo obtuso.

TRIANGULOS SEGÚN SUS LADOS.

Clasificación de los triángulos según sus lados.

1. Triángulos equiláteros

Las palabras equi - látero vienen del latín: igual – lado.

Son los triángulos cuyos tres lados son iguales:
A = B = C

2. Triángulos isósceles
La palabra isósceles está compuesta de dos palabras griegas isoque significa igual y de la palabra skeles que podemos traducir por piernas.

La palabra isósceles referido a la geometría quiere decir que dos lados (piernas) son iguales. Por lo tanto, un triángulo con dos lados iguales llamamos isósceles.

3. Triángulos escalenos

La palabra escaleno procede de la palabra griega skaleno que significa cojear, cojo. Nos da la idea que si el triángulo “cojea” sus lados no son iguales. Efectivamente, el triángulo escaleno tiene sus lados diferentes por lo que sus ángulos también serán diferentes.

FIGURAS TRIDIMENSIONALES.

Las Figuras Tridimensionales son también llamados sólidos. Son una porción del espacio limitado por caras planas o curvas.  A diferencia de las figuras geométricas comunes, que solo tienen 2 dimensiones (Ancho, Largo), estas tienen 3 dimensiones adicionándole la PROFUNDIDAD.

Ejemplos de figuras tridimensionales son:

> POLIEDROS
Son cuerpos geométricos formados por 4 o más polígonos.
Estos se clasifican en:

1. POLIEDRO CÓNCAVO: Cuando alguna de sus caras no se puede apoyar en el plano.

2. POLIEDRO CONVEXO: Todos sus lados se pueden apoyar en el plano.
Los poliedros convexos se dividen en:
2.1 POLIEDROS REGULARES: Son aquellos que cuyas caras con polígonos regulares iguales y ademas en cada vértice se en cada uno de ellos.

2.2 POLIEDROS IRREGULARES: Si alguna de sus caras son polígonos de forma distinta, son poliedros irregulares.

POLÍGONOS IRREGULARES

En geometría, se le llama polígono irregular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores no son iguales entre sí. Los polígonos irregulares no tienen todos sus lados iguales. Sus vértices podrían no estar inscritos en una circunferencia. Estos polígonos irregulares tienen la ventaja de que no se necesita un compás para construirlos como es el caso de los polígonos regulares, sólo se necesita una regla para conectar los puntos para formar el polígono irregular con lados diferentes pero un punto no puede conectarse más de dos puntos porque si no se estarían formando dos polígonos juntos o continuos.

Un POLÍGONO IRREGULAR es aquel cuyos lados y ángulos internos no son iguales (proporcionales). Dependiendo de su cantidad de lados, se les llama por ejemplo:

- Pentágono irregular (por poseer 5 lados)
- Octágono irregular (por poseer 8 lados)
- Cuadrilátero irregular (por poseer 4 lados)

Siendo esta una forma fácil de relacionar con respecto a su cantidad de lados.

POLÍGONOS REGULARES

Se denomina polígono a cualquier figura plana cerrada compuesta por segmentos de recta concatenados.

Un polígono regular es aquel que tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos interiores iguales. Algunas de sus propiedades son éstas:

Los polígonos regulares son equiláteros, esto es, todos sus lados tienen la misma longitud.

Todos los ángulos interiores de un polígono regular tienen la misma medida, es decir, son congruentes.

El centro de un polígono regular es un punto que equidista de todos sus vértices. O lo que es lo mismo, existe una circunferencia llamada inscrita cuyo centro es el centro del polígono y que pasa por todos sus vértices.

Los polígonos se pueden dividir en triángulos isósceles cuyos lados son el lado del polígono y los dos segmentos que unen el centro y los vértices (radios). El ángulo menor de estos triángulos isósceles es siempre 360º dividido entre el número de lados del polígono.

Elementos

Los elementos de los polígonos regulares son:

Los vértices (A,B,C,D..).

Los lados (AB, BC, CD…).

El centro (O).

Los ángulos interiores (uno por cada vértice).

Los apotemas, segmentos que unen el centro y el punto medio de cada lado del polígono.

Los radios, segmentos que unen el centro y cada vértice.

Las diagonales, que unen vértices no contiguos (por ejemplo, AD).

Nomenclatura

Los nombres de los polígonos regulares básicos son los siguientes:

> 3 lados: Triángulo equilátero

> 4 lados: Cuadrado

> 5 lados: Pentágono regular

> 6 lados: Hexágono regular

> 7 lados: Heptágono regular

> 8 lados: Octágono regular

> 9 lados: Eneágono regular

> 10 lados: Decágono regular

> 11 lados: Endecágono regular

> 12 lados: Dodecágono regular

> 13 lados: Tridecágono regular

> 14 lados: Tetradecágono regular

> etc…

CUADRILATEROS

En Geometría euclidiana, un cuadrilátero o tetrágono es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro vértices

La palabra "cuadrilátero" deriva de dos voces latinas quadri, que significa cuatro, y latus, que significa lado.

Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados, sus longitudes y sus ángulos interiores:

~Paralelogramo: sus lados opuestos son paralelos.

~Cuadrado: todos sus lados son iguales, todos sus ángulos interiores son rectos, sus diagonales son iguales y perpendiculares entre sí, tiene una circunferencia inscritas y otra circunscrita.

~Rombo: todos sus lados son iguales, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus diagonales son distintas y perpendiculares entre sí, son bisectrices, tiene una circunferencia inscrita.

~Rectángulo: sus lados opuestos son iguales dos a dos y los paralelos, todos sus ángulos interiores son rectos, sus dos diagonales son iguales pero no son perpendiculares entre sí y tiene una circunferencia circunscrita.

~Romboide: sus lados opuestos son iguales dos a dos, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus dos diagonales son de distinta longitud y no son perpendiculares entre sí.

~Trapecio: En geometría, se llama trapecio a un cuadrilátero que tiene dos lados no consecutivos paralelos llamados bases del trapecio, y el segmento perpendicular entre las dos bases y su propia longitud son llamadas altura del trapecio.

~Trapezoide: En geometría euclídea plana, un trapezoide es un cuadrilátero convexo sin lados paralelos.

TRIANGULOS

Se llama triángulo, en geometría plana, al polígono de tres lados. Los puntos comunes a cada par de lados se denominan vértices del triángulo.

ELEMENTOS:

Vértices:
Cada uno de los puntos que determinan un triángulo.

Lados:
Cada par de vértices determina un segmento, que se conoce como lado del triángulo.

Ángulos:
Cada par de lados con origen común el vértice de un triángulo y que contienen dos de esos lados concurrentes se llama ángulo del triángulo u -ocasionalmente- ángulo interior.

CLASIFICACIÓN:
Por sus lados:
>Equilatero.
>Isosceles.
>Escaleno.

Por sus ángulos:
>Rectángulo.
>Oblicuángulo.
>Obstusángulo.
>Acutángulo.

Clasificación de las figuras geométricas

Una figura geométrica (también se la puede denominar lugar geométrico) corresponde a un espacio cerrado por líneas o por superficies.
Las figuras geométricas de lados rectos se denominan polígonos y las figuras de lados curvos se denominan círculo y circunferencia y corresponden también a polígonos.

Veamos algunas de ellas.

TRIÁNGULOS
Se llama triángulo, en geometría plana, al polígono de tres lados. Los puntos comunes a cada par de lados se denominan vértices del triángulo.

POLÍGONOS
Según la medida de sus lados y ángulos, los polígonos pueden ser regulares e irregulares. Un polígono es regular si todos sus lados poseen la misma longitud y si todos sus ángulos son iguales.

CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es una línea curva cerrada, cuyos puntos tienen la propiedad de equidistar de otro punto llamado centro.

HISTORIA DE LAS FIGURAS GEOMETRICAS

La observación de la naturaleza nos muestra la existencia de variadas formas en los cuerpos materiales que la componen y nos proporciona la idea de volumen, superficie, línea, y punto. Por necesidades prácticas, el desarrollo de técnicas usadas para medir, construir o desplazarse, llevaron al hombre a hacer uso de las diversas propiedades de las figuras geométricas.

Una vez adquiridas estas nociones y prescindiendo de su origen práctico, la Geometría (medición de la tierra), de ser un conjunto de técnicas, pasó a constituir una disciplina matemática formal, donde la figura geométrica es un ente abstracto y sus propiedades el objeto de estudio de la Geometría.

Su aplicación práctica se estudia en física aplicada, astronomía, arquitectura, náutica, topografía,agrimensura, etc. 

 Las figuras geométricas más elementales

Las figuras geométricas más elementales son el punto, la recta y el plano. Mediante transformaciones y desplazamientos de sus componentes generan diversas líneas, superficies y volúmenes, que son objeto de estudio en matemáticas: geometría, topología, etc.

Generalidades

Las figuras geométricas son el objeto de estudio de la geometría, rama de las matemáticas que se dedica a analizar las propiedades y medidas de las figuras en el espacio o en el plano.

Una figura geométrica es un conjunto no vacío cuyos elementos son puntos.

Podemos encontrarlas prácticamente en todos lados: en las ruedas de los autos (círculos), en un pedazo de pizza (triángulo), en los edificios (rectángulos), en los paraguas (octágono), en los ojos de un amigo (elipse), en algunos techos de las casas (pirámides), entre otros.

Aquellas que son de dos dimensiones se les  denomina polígonos, aquellas que son sólidas o tridimensionales, poliedros.